NiziU の9人を、3人 × 3組に分割 (各組の合計年齢を同じに)

年齢の合計が同じになるチーム分け

あなたはふと，DA PUMP のメンバー6人を，3人1組の2チームに分けたくなりました．分け方は何でも良いわけではなく，分けたチーム内のメンバーの年齢の合計が，チーム A とチーム B で同じになるようにしたいのです．さて，どのように分ければよいでしょうか？ (以降で年齢計算が何度か登場しますが，全て 2021年6月17日時点の年齢で計算します．)

DA PUMP のメンバーの年齢はばらつきが小さいので，そういう分け方を発見するのは簡単ですね．こんなふうに分ければ，チーム A のメンバーの年齢の合計とチーム B のメンバーの年齢の合計が同じ (それぞれ計117歳) にすることができます．

チーム A
- ISSA (42)
- KIMI (38)
- U-YEAH (37)
チーム B
- YORI (41)
- TOMO (40)
- KENZO (36)

もっと人数の多い NIZIU ではどうでしょう？NIZIU には9人のメンバーがいるので，3人 × 3組を作ることができます．その3組の合計の年齢がどれも同じになるようにするには，メンバーをどうやって組分けしましょうか？

こんなふうな分け方をすれば，3組とも合計年齢が同じ (それぞれ計53歳) に分けることができますね！

チーム A
- MAKO (20)
- AYAKA (17)
- MIIHI (16)
チーム B
- RIO (19)
- RIKU (18)
- NINA (16)
チーム C
- MAYA (19)
- MAYUKA (17)
- RIMA (17)

こういうチーム分けが常に可能とは限らない

DA PUMP の6人を3人1組で2チームに，NIZIU の9人を3人1組で3チームに分割して，それぞれのチームの合計年齢が同じになるようにできました．しかし，こういう分割がいつでもできるとは限りません．例えば V6 の6人を 3人 × 2チームに分けるとき，どんな分け方をしても合計年齢を同じにすることはできません！

同じように9人グループでも，常に「合計年齢が同じになる3人組の作り方」があるとは限りません．例えば Twice ではそういう分け方をすることができません．ちょっと大変ですが，色々試してみて「やっぱりできないね…」ということを確かめてみても面白いと思います．

Twice の9人を，各組の年齢の合計が等しくなる3人 × 3組に分割する方法はない

さて，ここまで4つのグループを見てみて，2つのグループは合計年齢が同じ3人組に分割できて，もう2つのグループは合計年齢が同じ3人組に分割できませんでした．どんなグループならこうした分割ができて，どんなグループならできないでしょうか？簡単に判別する方法はあるでしょうか？

この問題は，実は “難しい問題”

実は，この問題は 3 分割問題と言って，Wikipedia に記事が載るレベルで有名な “難しい問題” なのです！”難しい” とは，ざっくり言えば「この問題を効率的に解決するアルゴリズムが (たぶん) 存在しない」という意味です．もちろん人数が6人とか9人とか小さい数なら解くのは簡単ですが，人数が多くなると途端に解くのが難しくなります．

例えば AKB 48 のようにグループに48人いるケースを考えるとしましょう．48人を 3人 × 16チームに分割して，チームごとの合計年齢が全16チームで同じになるようにできるかどうか，判断するのはとても難しいです．検証する必要のある場合分けの数を数えてみると，これが難しい問題である理由の一端を感じ取ることができます．

AKB 48 を3人 × 16 チームに分ける方法は全部で 210,314,486,592,266,380,347,977,873,920,000,000 ~ 2.1 * 10³⁵ 通りもあります．「この膨大な可能性の中に，16チームの合計年齢が等しいような分け方は存在する？」と問うのは，直感的にも極めて難しそうですよね (場合の数は \(\displaystyle \frac{48!}{16! \cdot (3!)^{16} } \) で計算できます)．