NiziU の9人を、3人 × 3組に分割 (各組の合計年齢を同じに)

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年齢の合計が同じになるチーム分け

あなたはふと,DA PUMP のメンバー6人を,3人1組の2チームに分けたくなりました.分け方は何でも良いわけではなく,分けたチーム内のメンバーの年齢の合計が,チーム A とチーム B で同じになるようにしたいのです.さて,どのように分ければよいでしょうか? (以降で年齢計算が何度か登場しますが,全て 2021年6月17日時点の年齢で計算します.)

DA PUMP のメンバー 6人を,3人 × 2組 に分割

DA PUMP のメンバーの年齢はばらつきが小さいので,そういう分け方を発見するのは簡単ですね.こんなふうに分ければ,チーム A のメンバーの年齢の合計とチーム B のメンバーの年齢の合計が同じ (それぞれ計117歳) にすることができます.

  • チーム A
    • ISSA (42)
    • KIMI (38)
    • U-YEAH (37)
  • チーム B
    • YORI (41)
    • TOMO (40)
    • KENZO (36)

もっと人数の多い NIZIU ではどうでしょう?NIZIU には9人のメンバーがいるので,3人 × 3組 を作ることができます.その3組の合計の年齢がどれも同じになるようにするには,メンバーをどうやって組分けしましょうか?

NIZIU のメンバー 9人を,3人 × 3組 に分割

こんなふうな分け方をすれば,3組とも合計年齢が同じ (それぞれ計53歳) に分けることができますね!

  • チーム A
    • MAKO (20)
    • AYAKA (17)
    • MIIHI (16)
  • チーム B
    • RIO (19)
    • RIKU (18)
    • NINA (16)
  • チーム C
    • MAYA (19)
    • MAYUKA (17)
    • RIMA (17)

こういうチーム分けが常に可能とは限らない

DA PUMP の6人を3人1組で2チームに,NIZIU の9人を3人1組で3チームに分割して,それぞれのチームの合計年齢が同じになるようにできました.しかし,こういう分割がいつでもできるとは限りません.例えば V6 の6人を 3人 × 2チームに分けるとき,どんな分け方をしても合計年齢を同じにすることはできません!

V6 の6人を,各組の年齢の合計が等しくなる3人 × 2組 に分割する方法はない

同じように9人グループでも,常に「合計年齢が同じになる3人組の作り方」があるとは限りません.例えば Twice ではそういう分け方をすることができません.ちょっと大変ですが,色々試してみて「やっぱりできないね…」ということを確かめてみても面白いと思います.

Twice の9人を,各組の年齢の合計が等しくなる3人 × 3組 に分割する方法はない

さて,ここまで4つのグループを見てみて,2つのグループは合計年齢が同じ3人組に分割できて,もう2つのグループは合計年齢が同じ3人組に分割できませんでした.どんなグループならこうした分割ができて,どんなグループならできないでしょうか?簡単に判別する方法はあるでしょうか?

この問題は,実は “難しい問題”

実は,この問題は 3 分割問題と言って,Wikipedia に記事が載るレベルで有名な “難しい問題” なのです!”難しい” とは,ざっくり言えば「この問題を効率的に解決するアルゴリズムが (たぶん) 存在しない」という意味です.もちろん人数が6人とか9人とか小さい数なら解くのは簡単ですが,人数が多くなると途端に解くのが難しくなります.

例えば AKB 48 のようにグループに48人いるケースを考えるとしましょう.48人を 3人 × 16チーム に分割して,チームごとの合計年齢が全16チームで同じになるようにできるかどうか,判断するのはとても難しいです.検証する必要のある場合分けの数を数えてみると,これが難しい問題である理由の一端を感じ取ることができます.

コンピュータを使っても,これを解くのはすごく大変!

AKB 48 を3人 × 16 チームに分ける方法は全部で 210,314,486,592,266,380,347,977,873,920,000,000 ~ 2.1 * 1035 通りもあります.「この膨大な可能性の中に,16チームの合計年齢が等しいような分け方は存在する?」と問うのは,直感的にも極めて難しそうですよね (場合の数は \(\displaystyle \frac{48!}{16! \cdot (3!)^{16} } \) で計算できます).

9人グループ限定で,問題を解く計算表を作ったよ!

そんな難しい3分割問題ですが,この度わたくしは9人グループ限定で3分割問題を解く計算表を作成しました!これを使えば NIZIU や Twice のような9人グループが,3分割可能かどうかを即座に計算して判定することができます!これについては別の記事で書きますね

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