騰落率の幾何平均 g を、算術平均 a と分散 σ で近似する
騰落率 \(r_k\) (\(k = 1, 2, \dots, n\)) の幾何平均 \(\mu_G\)、算術平均 \(\mu_A\)、分散 \(\sigma^2\) について、\(|r_n| \ll 1\) のとき次が成り立つ。
\(\displaystyle \mu_G \sim \mu_A – \frac{1}{2}\sigma^2\)
証明
それぞれの定義は次の通り。
\(\displaystyle \mu_G = \prod_k (1 + r_k)^{\frac{1}{n}} – 1\)
\(\displaystyle \mu_A = \frac{1}{n} \sum_k r_k\)
\(\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_k (r_k – \mu_A)^2\)
\(\mu_A\)、\(\sigma\) の定義を変形して次を得る。
\(\displaystyle \mu_A^2 = \frac{1}{n^2}(\sum_k r_k)^2 = \frac{1}{n^2}\sum_k r_k^2 + \frac{2}{n^2}\sum_k \sum_{l \neq k} r_k r_l \)
\(\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_k (r_k – \mu_A)^2 = \frac{1}{n}(\sum_k r_k^2 – 2 \mu_A \sum_k r_k + \sum_k \mu_A^2) = \frac{1}{n}\sum_k r_k^2 -\mu_A^2\)
ここで \(\displaystyle f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{n}}\) について、次が成り立つ。
- \(f(0) = 1\)
- \(\displaystyle f'(x) = \frac{1}{n}(1 + x)^{\frac{1-n}{n}}\) から \(\displaystyle f'(0) = \frac{1}{n}\)
- \(\displaystyle f^{\prime\prime}(x) = \frac{1}{n}\frac{1-n}{n}(1+x)^{\frac{1-2n}{n}}\) から \(\displaystyle f^{\prime\prime}(0) = \frac{1-n}{n^2}\)
\(|x| \ll 1\) のとき、テイラー展開 \(\displaystyle f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)x^2 + \cdots\) の 3 次以上の項を無視して、次の近似を得る。
\(\displaystyle f(x) = 1 + \frac{1}{n}x + \frac{1}{2}\frac{1-n}{n^2}x^2\)
\(|r_k| \ll 1\) を用いて、\(\mu_G\) を次のように近似する。
\(\displaystyle \mu_G = \prod_k (1 + r_k)^{\frac{1}{n}} – 1 = \prod_k (1 + \frac{1}{n} r_k + \frac{1}{2}\frac{1-n}{n^2}r_k^2) -1 \)
\(r_i\) の 3 次以上の項を無視して総乗を展開する。
\(\displaystyle \mu_G = 1 + \frac{1}{n}\sum_k r_k + \frac{1}{n^2}\sum_k\sum_{l \neq k}r_k r_l + \frac{1}{2}\frac{1-n}{n^2}\sum_k r_k^2 -1\)
\(\displaystyle = \mu_A + \frac{1}{2}(\frac{2}{n^2} \sum_k \sum_{l \neq k} r_k r_l + \frac{1}{n^2}\sum_k r_k^2 – \frac{1}{n} \sum_k r_k^2) \)
\(\displaystyle = \mu_A + \frac{1}{2}(\mu_A^2 – \sigma^2 -\mu_A^2) = \mu_A – \frac{1}{2}\sigma^2\)
参考
リスクが減るとリターンが低くなると錯覚していませんか？~算術平均と幾何平均の違い~ – ゆるふわクオンツの日常
