AGI の実現性は知らないけど、2025 年の AI は高校数学の問題なら解けるようだ

一辺の長さが 1 の正三角形 \(ABC\) において，辺 \(BC\) を \(n\) 等分し，頂点 \(B\) に近い順に点 \(P_1, P_2, \dots, P_n = C\) をとる。点 \(B\) を原点 \( (0, 0) \)，点 \(C\) を \( (1, 0) \) となるように座標を設定する。正三角形の性質より，点 \(A\) の座標は \( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) である。点 \(P_k\) は辺 \(BC\) を \(n\) 等分した点であり，\(BP_k = \frac{k}{n}\) であるから，\(P_k = (\frac{k}{n}, 0)\) となる。

線分 \(AP_k\) の長さは，2点間の距離の公式より

\[
AP_k = \sqrt{\left(\frac{k}{n} – \frac{1}{2}\right)^2 + \left(0 – \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{k}{n}\right)^2 – \frac{k}{n} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\left(\frac{k}{n}\right)^2 – \frac{k}{n} + 1}
\]

線分 \(AP_1, AP_2, \dots, AP_n\) の長さの平均 \(L_n\) は

\[
L_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} AP_k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\left(\frac{k}{n}\right)^2 – \frac{k}{n} + 1}
\]

\(n \to \infty\) のときの \(L_n\) の極限は，区分求積法の考え方より，関数 \(f(x) = \sqrt{x^2 – x + 1}\) の区間 \([0, 1]\) における定積分で与えられる。

\[
\lim_{n \to \infty} L_n = \int_0^1 \sqrt{x^2 – x + 1} dx
\]

積分を計算するために，被積分関数を平方完成する。

\(x^2 – x + 1 = \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{4} + 1 = \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\)

したがって，積分は \(\int_0^1 \sqrt{\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} dx\) となる。

ここで \(u = x – \frac{1}{2}\) と置換する。\ \(du = dx\) ，積分範囲は \(x=0\) のとき \(u = -\frac{1}{2}\) ，\(x=1\) のとき \(u = \frac{1}{2}\) となる。

\[
\int_{-1/2}^{1/2} \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} du
\]

ここで \(a^2 = \frac{3}{4}\)，つまり \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\) とする。不定積分 \(\int \sqrt{u^2 + a^2} du\) を求める。部分積分を用いる。

\[
\int \sqrt{u^2 + a^2} \cdot 1 \, du = u \sqrt{u^2 + a^2} – \int u \cdot \frac{u}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du = u \sqrt{u^2 + a^2} – \int \frac{u^2}{\sqrt{u^2 + a^2}} \, du
\]

ここで，\(\frac{u^2}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \frac{u^2 + a^2 – a^2}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \sqrt{u^2 + a^2} – \frac{a^2}{\sqrt{u^2 + a^2}}\) であるから

\[
\int \sqrt{u^2 + a^2} du = u \sqrt{u^2 + a^2} – \int \left(\sqrt{u^2 + a^2} – \frac{a^2}{\sqrt{u^2 + a^2}}\right) du
\]

\[
\int \sqrt{u^2 + a^2} du = u \sqrt{u^2 + a^2} – \int \sqrt{u^2 + a^2} du + a^2 \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} du
\]

\[
2 \int \sqrt{u^2 + a^2} du = u \sqrt{u^2 + a^2} + a^2 \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} du
\]

\[
\int \sqrt{u^2 + a^2} du = \frac{1}{2} \left(u \sqrt{u^2 + a^2} + a^2 \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} du\right)
\]

次に，\(\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} du\) を計算する。\(v = u + \sqrt{u^2 + a^2}\) と置換する。

\[
\frac{dv}{du} = 1 + \frac{u}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{u^2 + a^2} + u}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \frac{v}{\sqrt{u^2 + a^2}}
\]

\[
du = \frac{\sqrt{u^2 + a^2}}{v} dv
\]

\[
\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} du = \int \frac{1}{\sqrt{u^2 + a^2}} \cdot \frac{\sqrt{u^2 + a^2}}{v} dv = \int \frac{1}{v} dv = \ln |v| + C = \ln |u + \sqrt{u^2 + a^2}| + C
\]

したがって，

\[
\int \sqrt{u^2 + a^2} du = \frac{1}{2} \left(u \sqrt{u^2 + a^2} + a^2 \ln |u + \sqrt{u^2 + a^2}|\right) + C
\]

この結果を用いて定積分を計算する。\(a^2 = \frac{3}{4}\) である。

\[
\int_{-1/2}^{1/2} \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} du = \left[\frac{1}{2} \left(u \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}} + \frac{3}{4} \ln \left|u + \sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}\right|\right)\right]_{-1/2}^{1/2}
\]

上限 (\(u = 1/2\)) を代入:

\[
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} + \frac{3}{4} \ln \left|\frac{1}{2} + \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}\right|\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sqrt{1} + \frac{3}{4} \ln \left|\frac{1}{2} + 1\right|\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \ln \frac{3}{2}\right)
\]

下限 (\(u = -1/2\)) を代入:

\[
\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} + \frac{3}{4} \ln \left|-\frac{1}{2} + \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}\right|\right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \sqrt{1} + \frac{3}{4} \ln \left|-\frac{1}{2} + 1\right|\right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \ln \frac{1}{2}\right)
\]

差分を計算する。

\[
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \ln \frac{3}{2}\right) – \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \ln \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} – \frac{3}{4} \ln \frac{1}{2}\right)
\]

\[
= \frac{1}{2} \left(1 + \frac{3}{4} \left(\ln \frac{3}{2} – \ln \frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{3}{4} \ln \left(\frac{3/2}{1/2}\right)\right) = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{3}{4} \ln 3\right)
\]

\[
= \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \ln 3
\]