高校生の時に思い付いた,難しそうな数学の問題

fig


\(n\) を自然数とする.
1辺の長さが1である正三角形 \(ABC\) において辺 \(BC\) の長さを \(n\) 等分する点を辺 \(BC\) 上にとり,
頂点 \(B\) に近いものから順に点 \(P_1, P_2, … , P_{n-1}\) とし,頂点 \(C\) を点 \(P_n\) とする.
線分 \(AP_1, AP_2, … , AP_n\) の長さの平均を \(L_n\) とするとき,極限値 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} L_n\) を求めよ.

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