東工大地惑 院試過去問 (平成21年) … MathJaxって楽しいよね！

ウェブサイトに数式を書けると，すごく嬉しい (この気持ちが伝わるかなぁ…)

元はこれ

もとはこれ．このブログの『周期はなぜT?』という記事に貼ってた僕の解答例．

今回MathJaxで書き直すに当たって，少し改変してる．そのほうが読みやすいと思って．でもノーテーションは共通なので，相互に読めるはず．

MathJaxで書いてみた

1) \(\displaystyle p_0(Sx_0)=nRT_0\)

2) \(\displaystyle p_0(Sx_0)^\gamma=a\)

3) \(\displaystyle p_1(Sx_1)=nRT_1\)

4) \(\displaystyle p_1=p_0+\frac{M_pg}{S}\)

5) \(\displaystyle p_1(Sx_1)^\gamma=a\)

6) \(\displaystyle p\{S(x_1+x)\}=nRT\)

7) \(\displaystyle p\{S(x_1+x)\}^\gamma=a\)

今，\(\displaystyle \gamma=\frac{5}{3}\)

(2)，(4)，(5)より

8) \(\displaystyle \frac{x_1}{x_0}=\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{\frac{1}{\gamma}}=\left(\frac{p_0S}{p_0S+M_pg}\right)^\frac{1}{\gamma}\)

(2)，(7)より

9) \(\displaystyle p=\left(\frac{x_0}{x_1+x}\right)^\gamma p_0=\left(\frac{x_1}{x_0}+\frac{x}{x_0}\right)^{-\gamma}p_0\)

ピストンの運動方程式を立てると，(8)，(9)を使ってこう書ける．

\(\begin{eqnarray}\displaystyle M_p\ddot{x}&=&pS-p_0S-M_pg\\&=&\left\{\left(\frac{p_0S}{p_0S+M_pg}\right)^\frac{1}{\gamma}+\frac{x}{x_0}\right\}^{-\gamma}p_0S-(p_0S+M_pg)\end{eqnarray}\)

\(\displaystyle \left(\frac{x}{x_0}\right)\ll1\)として，↑の括弧を展開 (\(\displaystyle \left(\frac{x}{x_0}\right)^2\)以降は無視)

\(\begin{eqnarray}\displaystyle M_p\ddot{x}&=&\left[\left(\frac{p_0S}{p_0S+M_pg}\right)^{-1}-\gamma\left(\frac{p_0S}{p_0S+M_pg}\right)^{-1-\frac{1}{\gamma}}\left(\frac{x}{x_0}\right)\right]p_0S-\left(\frac{p_0S+M_pg}{p_0S}\right)p_0S\\&=&-\frac{\gamma p_0S}{x_0}\left(\frac{p_0S+M_pg}{p_0S}\right)^{1+\frac{1}{\gamma}}x\\&=&-\frac{5p_0S}{3x_0}\left(\frac{p_0S+M_pg}{p_0S}\right)^{\frac{8}{5}}x\end{eqnarray}\)

これは単振動の式になっていて，その周期\(T\)は

\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\left(\frac{3x_0M_p}{5p_0S}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{p_0S}{p_0S+M_pg}\right)^{\frac{4}{5}}\)