円周率 π は間違ってる: π を止めて τ を使おう
The Tau Manifesto を知ってる？
The Tau Manifessto を知ってますか？この文書の主な主張は「円周率 \(\pi\) = 円周 \(C\) ÷ 直径 \(D\) という定義は数学的に筋が悪い．円周率 \(\tau\) = 円周\(C\) ÷ 半径 \(r\) という定義のほうがもっと賢くて本質的」ということ．実際に The Tau Manifesto にも書かれてるけど，下に列挙するような多くの場面で円周率は \(2\pi\) の形で登場する．\(\pi\) 単体じゃなくて，たいてい係数 2が付いてるというのがポイントだ．
- 正規分布の式
- \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \)
- フーリエ変換の式
- \(\displaystyle \hat{f}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi x \xi} dx\)
- コーシーの積分公式
- \(\displaystyle f(a) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_{C} \frac{f(z)}{z – a} dz\)
- リーマンゼータ関数
- \(\displaystyle \zeta(2n) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2n}} = \frac{|B_{2n}|}{2(2n)!}(2\pi)^{2n}\)
なぜならこれは，そもそも円周率の定義が悪いからなんですね．円周を半径で割った値のほうが数学的に本質的なのに，歴史的に円周を直径で割ったものを「円周率」として使ってきたので，重要な場面で円周率はことごとく\(2\pi\) の形で登場するんです．「それ非効率的だし分かりにくいから，より数学的に本質的な \(\tau = 2\pi\) を今後は使いましょうよ？」というのが The Tau Manifesto だ．
オイラーの等式は汚い
オイラーの等式は，数学の中でも特に美しく優れた等式だと言われる．オイラーの等式とは:
\(e^{i\pi} + 1 =0\)
これが美しいと言われてる場面を何度も見てきたから，僕はそれを真に受けて「これは美しいのか」と洗脳されてた．しかしよく意味が分かってなかったんだね．オイラーの等式の図形的で直感的な意味を，Up and Atom という YouTube を見て初めて理解した．
\(\pi\) は弧度法で半回転を意味するから，\(e^{i\pi} + 1 = 0\) の図形的な意味はこう．半回転して右に1ずれると，原点に戻る．この図を見て「半回転って何やねん！1周を表現するほうが美しいやろがい！」と思った．
足し算を恣意的に導入して「加算の単位元 0 と，乗算の単位元 1 も登場してますね〜」とか言って誤魔化すのには，以前から違和感があった．でもその正体が掴めた気がする．半周しかしてないから，ミニマルな表現ができないだけなんだよね．だから誤魔化しが入ってる．
全ての素数の積は \(\tau^2\)
\(\tau=2\pi\) があれば，全ての素数の積は \(\tau^2\) で書けてめちゃめちゃシンプル！ここにも「\(\pi\) より \(\tau\) のほうが本質的である」という事実の一端が現れてると思う．下の等式は，本当に美しいね．
\(\displaystyle \prod_{p} p = \tau^2\)
僕が上の動画を見たのは2017年8月24日．その時にあったコメント欄のコメントで新しい円周率 \(\tau = 2\pi\) を知った．そのときは「何それ！聞いたことない！」と，まだ価値を理解できてなかったね．
全ての整数の積は \(\sqrt{\tau}\)
「全ての素数の積」に似たものとして「全ての整数の積」というのがあって，それは \(\sqrt{\tau}\) になる．「また \(\tau\) だ．やはり \(\tau\) は，数学的に何やら本質的そうだ！」と思うよね．「全ての整数の積」を言い換えると「無限大の階乗」になるから，こう書ける．
\(\infty ! = \sqrt{\tau}\)
サラッと「全ての素数の積」とか「全ての整数の積」とか言ったけど，実はこれって単純な概念じゃなくて，ちょっとした工夫をしないとこれらは意味を持たないことに注意してくださいね (でも逆に，工夫さえすれば意味を持つというのは面白い)．素朴に「無限大の階乗」なんて計算したら，普通に無限大に発散するだけだからね．
実際に僕は最近 Haskell で1万の階乗を計算させてみたことがある．当然，すんごい大きさの数値になりました (下図参照)．Haskell はどんなに大きい値も扱えるらしく，計算させたら本当にちゃんと結果が返ってきてびっくりしました．
Haskell は「純粋関数型プログラミング言語」とも言われる関数型プログラミングのお手本のような言語．僕はそれを習得したくて，Haskell 学習の決定版として名高い『すごい Haskell たのしく学ぼう！』を2021年7月14日に買った．8月5日現在で，まだ「2.4. 型クラス 初級講座」までしか読み進めてないので Haskell の奥深さを十分に味わってないけど，でも学習の過程はとても楽しい．じっくり勉強していくぞ〜
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