解析力学の学習報告 (1月)

勉強の軌跡を晒す.

訂正

誤植 p64の上から8行目の「ぐらつきや摩擦が存在しエネルギー(仕事)のロスが」を「ぐらつきや摩擦が原因でエネルギー(仕事)のロスが」と訂正。 までのすべての誤植を訂正済み (1/3現在)

1章

1.1 @2018-01-3

1.1.1

力学の考え方

ニュートン的な力学観では力は加速度から導かれると考える.要するに運動方程式が力の定義だとする.\(\vec{F}=m\vec{a}\) ということ.

解析力学をやる立場では別の考え方を採用する.力は系のポテンシャルから導かれると考える.「系がこのような状態にあるときはこのような力を発生する」という法則がある,と考える.

1.1.2

変数変換しない場合?

エネルギー保存則の導出について,こういう式変形もできる気がするけど意味ないのかな?というか,\(\vec{x}=\vec{x}_0\) から \(\vec{x}=\vec{x}_1\) までの積分と,\(t=t_0\) から \(t=t_1\) までの積分って同じ意味ですか?

\begin{eqnarray*}
\displaystyle \int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\vec{F} \cdot d\vec{x}
&=& \int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}m\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}\cdot d\vec{x}\\
&=& \int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}m\left( \frac{d}{dt} \right)^2\vec{x}\cdot d\vec{x}\\
&=& \left[\frac{1}{2}m\left( \frac{d}{dt} \right)^2\vec{x}^2\right]^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\\
&=& \left[\frac{1}{2}m\left( \frac{d\vec{x}}{dt} \right)^2\right]^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_1}\\
&=& \frac{1}{2}m\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2\right|_{\vec{x}=\vec{x}_1}-\frac{1}{2}m\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2\right|_{\vec{x}=\vec{x}_0}
\end{eqnarray*}

本文中の結論 \(\displaystyle \int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\vec{F} \cdot d\vec{x}=\frac{1}{2}m\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2\right|_{t=t_1}-\frac{1}{2}m\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2\right|_{t=t_0}\) が,上で僕が導出した式よりどの点で優れてるのかって,最終的な変数が \(t\) だけの1変数になってるってこと?計算がしやすい?それとも僕の導出した式はそもそも間違ってる?

そもそも…

そもそも \(\vec{F}\cdot d\vec{x}\) の \(d\vec{x}\) の正体は何だ?本には「運動経路」と書かれてるけど,速度とは別の概念?

式(1.6)の解釈

式(1.6)に関して.保存力じゃない \(\vec{F}_{非保存}\) を次のように書く.

\(\begin{eqnarray*} \vec{F}_{非保存}&=&\vec{F}_{真に非保存な力}+\vec{F}_{実は存在していた保存力}\\&=&\vec{F}_{真に非保存な力}-\mathrm{grad}U(\vec{x})\end{eqnarray*}\)

式(1.5)から以下が導かれる.

\(\begin{eqnarray*}\int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\vec{F}_{非保存}\cdot d\vec{x} &=&\frac{1}{2}\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \right|_{t_1}-\frac{1}{2}\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \right|_{t_0}\\ \int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\left(\vec{F}_{真に非保存な力}-\mathrm{grad}U(\vec{x})\right)\cdot d\vec{x}&=& \\\int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\vec{F}_{真に非保存な力}\cdot d \vec{x} -U(\vec{x}_1)+U(\vec{x}_0)&=&\\\int^{\vec{x}_1}_{\vec{x}_0}\vec{F}_{真に非保存な力}\cdot d \vec{x}&=&\left[\frac{1}{2}\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \right|_{t_1}+U(\vec{x}_1)\right]-\left[\frac{1}{2}\left.\left(\frac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \right|_{t_0}+U(\vec{x}_0)\right]\end{eqnarray*}\)

本文中の式(1.6)の \(\vec{F}_{非保存}\) は誤解を生みやすいが,それを分解して真に非保存な部分だけに注目して書き直したのが式(1.6)ということ.

1.1.3

運動量と角運動量の対比

\(\displaystyle \frac{d\vec{L}}{d\vec{t}}=\vec{N}\) と \(\displaystyle \frac{d\vec{p}}{d\vec{t}}=\vec{F}\) の類似性は重要そうだから覚えよう.角運動量 \(\vec{L}\)力のモーメント \(\vec{N}\)の関係は,運動量 \(\vec{p}\)力 \(\vec{F}\)の関係と似てる.

1.2 @2018-01-14

1.2.1

動滑車の考え方が分からない

動滑車の問題,1番の滑車に2つの \(\vec{T}_1\) が働くのって何でだっけ?よく分からない.

1.2.2

速度よりも運動量

実は「速度」よりも「運動量」の方がいくつかの理由で状態量としては優れているので,「座標」「運動量」のペアを持って力学の状態量と考えることも多い

これはきちんと知っておこう.質量と速度を混ぜてるから,質量が無い粒子の議論にも使えるとか,そんな理由があるんだろうな.

1.3

世界線

ファインマン・ダイアグラムについてはこれを思わずにいられない.でも解析力学は古い学問だから,反粒子とかは関係無いはず…

解析力学の考え方

これから学習する解析力学の,特にラグランジュ形式の解析力学では,運動を求めることは「世界線を決める」つまり「世界線を表現する関数の形を求める」ことである,という考え方をする.

運動を求めることは,世界線を表現する関数の形を求めることである 了解です.

1.4

解析力学の目標

解析力学の目標の一つが「座標系の表現によらない力学を作ること」である

了解.

frame も system も「系」と訳された

  系 (frame) 系 (system)
慣性系,加速系,重心系,実験室系… 直交座標系,極座標系…
意味 観測者がどのような立場で現象を観測するか 位置を表現するためにどのように空間に数字を割り振ったか

frame (枠) を決めて,そこに system を張る,というイメージ

frame の意味で「系」を言うことを強調するときに「準拠系」という言葉が用いられることがある. reference frame とか frame of reference とか言う.

練習問題【1-1】

1つだけ解法を書く.式(1.21)の \(\vec{e}_r\) に関する式

\(\displaystyle \vec{e}_r=\sin\theta\cos\phi\,\vec{e}_x+\sin\theta\sin\phi\,\vec{e}_y+\cos\theta\,\vec{e}_z\)

の全微分を求めることが,この設問の趣旨.全微分を \(d\vec{e}_r\) と書くと,

\(\displaystyle d\vec{e}_r=\frac{\partial}{\partial r}\vec{e}_rdr+\frac{\partial}{\partial \theta}\vec{e}_rd\theta+\frac{\partial}{\partial \phi}\vec{e}_rd\phi\)

なので,これを計算すると,

\(\begin{eqnarray*}\displaystyle d\vec{e}_r&=&0\cdot dr+\Bigl[ \cos\theta\cos\phi\,\vec{e}_x+\cos\theta\sin\phi\,\vec{e}_y-\sin\theta\,\vec{e}_z \Bigr]\,d\theta+\Bigl[-\sin\theta\sin\phi\,\vec{e}_x+\sin\theta\cos\phi\,\vec{e}_y \Bigr]d\phi\\&=& \vec{e}_\theta\, d\theta +\sin\theta\,\vec{e}_\phi d\phi \\ &=& d\theta\,\vec{e}_\theta + d\phi\sin\theta\,\vec{e}_\phi \end{eqnarray*}\)

式中の \(d\theta\) と \(\vec{e}_\theta\) とかの順序って意味があるんでしたっけ…?単純に,単位ベクトルの係数はこれだよってなってると見やすいというだけ?

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