分類より同一視に知性が現れる

まずは深い洞察の格言を．

Mathematics is the art of giving the same name to different things.

An interview with Henri Poincaré (Ferdinand Verhulst, 2012)

足し算ゲームの必勝法は？

あるゲームを考えよう．1から9までの数字を2人で1つずつ交互に取っていって，先に3つの数の合計を15にしたほうが勝利となるゲーム．ゲームが進めば4つ以上の数を取ることになるけど，「3つの数」の合計を15にしないといけない．4つの数の合計が15ではダメだし，逆に2つの数の合計が15でもダメ．取った数のうちどれでもいいので，どれか 3つの数の合計を15にしたら勝ちになる．

例えば相手が3を取って，あなたが6を取ったとしよう (上の画像の青が相手，オレンジがあなた)．次に相手が5を取ったら，相手の合計は8になっているから，あなたは7を取らないと次の相手の番に負けちゃうね．あなたが7を取ると，あなたの合計は13だから，相手は次に2を取るでしょう．

手番	相手	あなた	理由
1	3	–	–
2	–	6	–
3	3, 5	–	–
4	–	6, 7	相手の (3, 5) の合計が8だから
5	3, 5, 2	–	あなたの (6, 7) の合計が13だから
6	–	6, 7, 8	相手の (2, 5) の合計が7だから
7	3, 5, 2, 1	–	あなたの (6, 8) の合計が14だから

このゲーム，思ったよりも難しいよね．適当にやってるといつの間にか負けてたり，逆にいつの間に勝ってたりしちゃいそう．勝敗条件は単純なんだけど，手番が進むと考慮すべき組み合わせが増えるから，手番が進むに従ってややこしくなっていく．面白いと思ったらぜひ友達と遊んでみてね (？)．

もっと簡単なバージョン

一見するとかなり複雑なこの足し算ゲームは，実はすごくシンプルなゲームに置き換えることができる．9個の数を直線に並べる代わりに，下に示すような魔方陣に並べてみよう．この3×3 の魔方陣は，縦横斜めのどの3つの数の合計も15になってる (2, 3通り計算してみよう！)

縦横斜めのどの3つの数の合計も15になってるから，9個の数から3つを選んで合計を15にすることと，魔方陣から縦横斜めのどれか1列を選ぶことは，本質的に同じこと．だから足し算ゲームは，この魔方陣の縦横斜めのどれか1列を揃えるゲームだと言い換えることができるね．3×3 の盤上から交互にマスを取り合って，3つが並んだら勝ちになるゲーム… これってマルバツゲームと同じだ．

足し算ゲームとマルバツゲームは，実は完全に同じもの．完全に同じだから，マルバツゲームに勝つための戦略を使えば，足し算ゲームにも勝つことができる！複雑そうに見えた足し算ゲームは，実はすごく馴染み深いシンプルなゲームと本質的に同じだったんですね．

異なるものを同一視する

一見すると異なるものの背後にある抽象的な構造を括り出して，実は本質的には同じものだと見抜くのは難しい．反対に、表面的な違いを見て「あぁ，これとこれは違うね」と区別するのはすごく簡単だ．この「異なるものを同一視する」という営みにこそ，知性が現れるのではと最近思う．

その最たる例が数学だ．冒頭に引用したポアンカレの格言 “Mathematics is the art of giving the same name to different things.” は、日本語にするなら「数学とは，異なるものを同じものと見なす技術である」みたいな意味．数学は異なるものを同一視しまくるから高度に抽象的だけど，だからこそ科学のあらゆる場面 (物理 / 化学 / 生物 / 経済 / …) で役に立つ普遍性を持っているわけだ．

『容疑者Xの献身』にもよく似た話が登場する．「面積を求めよ」みたいな図形問題も，実は解析的に (つまり関数の問題として) 再解釈できたりする．なぜなら，背後にある “抽象的な構造” が共通だからだ．ちなみに、上に載せた足し算ゲームとマルバツゲームの話も、実は数学に関する YouTube 動画からの引用なのでした。

すると湯川はまた少し口元を緩めた。「草薙から面白い話を聞いた。君の試験問題の作り方についてだ。思い込みによる盲点をつく。たとえば幾何の問題に見せかけて、じつは関数の問題である、とか。なるほどと思った。

容疑者Xの献身

格言の実践的意味

具体的にどんな状況で僕が「分類より同一視に知性が現れるなあ」と思ったのかを書くのは憚られるので，近い事例を引用しよう．僕の好きな Rui さんが，自作 C コンパイラ “chibicc” のコードを解説する動画での発言．

人間，分類が好きなので (…) 階層構造を作っちゃいがちなんですね．

階層構造自体は「正しい」んですけど (…) 分類学になりがちなんで，あえて分類しないという風にして，考えることを減らしてます．

chibiccのコード紹介 – YouTube (省略/改行 著者)

ソフトウェアの設計において，概念の整理が必要な場面には頻繁に遭遇する．概念をランダムに散らかすのは当然悪い発想で，「筋のいい整理」で概念を体系的にまとめる必要がある．でもそのときに，あまり凝りすぎてもよくない．

詳細に，厳密に，分類を深堀りしていくと「あー俺って頭いいなぁ！」という感覚を味わえるかもしれない．でもむしろ必要なことって「一見違いそうなこれらって，実は同じじゃない？」とまとめ上げることなんじゃないかな．

オマケ

面倒だけど頑張って動画を文字起こししたので，せっかくなので書いた分を載せておきます．

人間，分類が好きなので，

• 「このノードとこのノードはこの型で表そう」とか．あと，
• クラス階層とかも作り出すと，
  • 「”二項演算子” という概念を作って，
  • そこから “プラス” と “マイナス” を派生させよう」とか．
• 「その前に
  • 式と文の区別をするために，”式” っていうのを作って “文” っていうのを作って，
  • そこから “二項演算子” とか “三項演算子” みたいな奴を派生させて，
  • そこからさらに “プラス” とか “マイナス” を派生させていこう」とか．

階層構造を作っちゃいがちなんですね．階層構造自体は「正しい」んですけど，プログラム的には別にあんまりメリットないんで．分類学になりがちなんで，あえて分類しないという風にして，考えることを減らしてます．全く分類されずに全部フラットに入ってるんですけど，なるべく難しくしすぎないというか，あまり凝りすぎないように，全部フラットに入れてます．