🤖 ロボアド Theo が、Bitcoin 投資より効率的な理由

⚖️ 良い資産に投資できているか？

資産運用では、適正なリスクを取ってリターンを得ることが大事だ。例えば銀行預金のように、リスクを取らなければ額面が減ることはほぼ無いけど、実質的には損をすることになる。一方、過大なリスクを取れば、元本を割る大損の恐れもある。適正なリスクを取り、効果的に資産を増やしたい。

Theo、eMAXIS Slim 全世界株式 (オルカン)、Bitcoin の 3 種の資産について、2024 年における投資効率の実績をざっと計算してみた。大まかに説明すると、$\mu$ は資産価格の期待値を計算するのに使う数で、$\sigma$ は資産価格の変動の幅を表す数。詳しくは後の節で。

資産	$\mu$	$\sigma$	$\mu/\sigma$	$(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2)/\sigma$
Theo	0.0141	0.0245	0.5774	0.5652
オルカン	0.0155	0.0329	0.4707	0.4542
Bitcoin	0.0860	0.1790	0.4805	0.3910

2024 年の資産変動の実績。集計期間は 2024 年の 1 月 1 日から 12 月 7 日

Theo は 2 つの代表的な指標 $\mu/\sigma$、$(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2)/\sigma$ の両方で、オルカンや Bitcoin よりも高い数値を記録した。これは Theo が他に比べてより効率的な投資対象であったことを意味する。それぞれの意味を少し詳しく見てみよう。

🏦 期待値なら $\mu/\sigma$、中央値なら $(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2)/\sigma$

将来の資産価格の期待値を重視する場合、$\mu/\sigma$ が大きいほどよい。この指標で Theo が 3 つの中で最も好成績だった。Bitcoin がオルカンをわずかに上回ってるのを見ると、期待値がギャンブラーのための指標だということを確認できる。$\mu/\sigma$ はシャープレシオに似てるけど、無リスク金利を考慮していないなどの違いがある。

将来の資産価格の中央値を重視する場合、$(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2)/\sigma$ が大きいほどよい。この指標でも Theo の 1 位は揺るがない。資産価格の変動の幅を表す $\sigma$ が小さいことが、その勝因だね。一方で、オルカンと Bitcoin の順位が入れ替わる。やはり中央値は堅実な運用者のための指標なのだと確認できるね。

中央値は、価格変動のランダムさを考慮しても 50% の確率で実現する値であり、堅実な指標と言って良いと思う。その反対に、期待値は、その名前とは裏腹に実現確率が 50% より低い。詳しくは [BS 模型] “期待値” が実現する確率はどれほど？に書いたので、興味があればぜひ👍️

他に、投資にレバレッジを掛けるかどうかでも、重視する指標が変わるらしい。けど僕は金融工学におけるレバレッジの扱いを理解してないので、これ以上は特に言うことはありません…😵

✏️ $\mu$ と $\sigma$ の計算方法

資産価格の変動を BS 模型で表せると仮定しよう。すると毎月の騰落率を使って、様々な資産の $\mu$ と $\sigma$ を統計的に推定できる。2024 年の対象期間の実際の騰落率の推移はこんな感じ。

月	Theo	オルカン	BTC
2024/01	–	–	–
2024/02	3.26%	1.76%	-2.47%
2024/03	3.94%	3.98%	44.96%
2024/04	3.19%	1.58%	11.63%
2024/05	1.02%	2.07%	-16.43%
2024/06	2.70%	5.70%	16.23%
2024/07	2.82%	-5.33%	-7.17%
2024/08	-4.57%	-1.79%	3.99%
2024/09	-0.59%	1.51%	-12.29%
2024/10	0.47%	6.73%	6.13%
2024/11	3.17%	-0.17%	14.21%
2024/12	0.27%	1.14%	40.01%

各月の騰落率。1 月は未計算。12 月は 7 日時点の値。BTC は各月 1 日の価格で計算

$\mu$ と $\sigma$ は、次のように計算した。ここで各月の騰落率の算術平均を $\bar{r}$、不偏分散を $\mathrm{Var}[r]$ と書いた。計算式の導出は BS 模型の母数 μ、σ を正しく推定するを見てください🙏

$\mu = \ln(\bar{r} + 1)$
$\sigma^2 = \ln(\mathrm{Var}[r] + (\bar{r} + 1)^2) – 2 \ln(\bar{r} + 1)$

細かいことを気にしないなら、$\mu \sim \bar{r}$、$\sigma \sim \sqrt{\mathrm{Var}[r]}$ で近似してもまあ良いと思う。Bitcoin の $\sigma$ のように、値が 0 から離れるほど近似の精度が悪い傾向があることには注意しよう。ちなみに $\displaystyle \sigma \sim \frac{\sqrt{\mathrm{Var}[r]}}{\bar{r} + 1}$ だと、もう少し精度良く近似できるよ。

資産	$\mu$	$\bar{r}$	$\sigma$	$\sqrt{\mathrm{Var}[r]}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{Var}[r]}}{\bar{r} + 1}$
Theo	0.0141	0.0142	0.0245	0.0249	0.0245
オルカン	0.0155	0.0156	0.0329	0.0334	0.0329
Bitcoin	0.0860	0.0898	0.1790	0.1966	0.1804

近似で良ければ、単純な式でも計算できる

🤔 ところで、もしかして…？

Theo と Bitcoin を適当に組み合わせると、Theo と同じ $\sigma$ で Theo より大きな $\mu$ を実現するポートフォリオを作れる？下の σ-μ 散布図を見ると、そう思えてくる…

ここから下は僕個人の資産運用の話。本論 (Theo は Bitcoin より効率的な投資対象だという話) とは、あまり関係ないです。

💰 2024 年の運用益は +16.2%

2024 年の 1 年間の資産運用で +16.2% の運用益を得られた。原資の内訳は、92% が去年からの繰り越し、残りの 8% が今年新たに追加した運用資金。対象期間は記事前半と同じ、2024 年の 1 月 1 日から 12 月 7 日。

投資対象は 2018 年から利用してる Theo と、新 Nisa 枠で買った eMAXIS Slim 全世界株式の 2 銘柄 (？) のみ。Theo も全世界株式も複数銘柄のポートフォリオで構成されるけど、僕は興味が無いので特に中身は気にしてない 😊

それぞれの成績は、Theo が +16.4%、全世界株式が +15.4% でとても良好。2024 年は Theo への入金より出金のほうが大きかったので、その正味の変動を下図の Theo に「出金」として載せた。年初時点で Theo 口座には 120% の資産があって、出金と利回りで差し引き 116% に着地した感じ。

ちなみに Bitcoin は持ってません。記事前半で Bitcoin に言及したのは、単に僕の投資戦略が Bitcoin 投資よりマシかどうかを調べたかっただけ😅 というのも、この記事を書く前に BTC > $89k で史上最高値を更新 (2024-11-12) のニュースを見かけたので。

[余談] Monex で騰落率の計算が面倒だった

Monex で購入した個別資産の騰落率の確認方法がよく分からない。たぶん [My Page] > [Monex Labs] > [View (口座全体)] > [投資信託] の画面がそれだと思うけど、これを見てもすぐに騰落率が分かるわけではない。見れるのは日付、評価額、評価額前月比、評価損益の 4 項目だ。